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Immagina di sezionare la piramide con un piano perpendicolare alla base passante per il vertice della piramide. La sezione è un triangolo isoscele di base B=4a e altezza H=2a. Ipotizzando che tu abbia già inscritto il cubo in questa piramide, nella sezione da te appena tagliata ci sarà anche la sezione del cubo, ossia ci sarà un quadrato inscritto nel triangolo. Il problema si riduce quindi a determinare il quadrato inscritto nel triangolo di base 4a e altezza 2a. Tracciando l'altezza del triangolo ottieni 2 triangoli rettangoli iscosceli di cateti 2a, chiamiamo x la metà del lato del quadrato, per similitudine avremo dunque:

(2a-x) : 2a = 2x : 2a

Ossia 3x=2a

x=(2/3)a

E dunque 2x=(4/3)a

Il lato del cubo vale (4/3)a e la superficie totale vale 6*(16/9)a^2=(32/3)a^2

Ciao.